走近百科全书式天才科学家:牛顿和他的微积分研究

所学包括飞机制造、船舶设计、火箭导弹、现代建筑等众多领域,是迄今为止人类历史上绝无仅有的“百科全书”式天才。

艾萨克·牛顿,英国皇家学会会长,英国著名的物理学家、数学家、天文学家和自然哲学家!高等数学的奠基人,万有引力的发现者,经典力学的开创者。

走近百科全书式天才科学家:牛顿和他的微积分研究

他的研究涉及物理、化学、天文、地理、哲学、经济和艺术,所学包括飞机制造、船舶设计、火箭导弹、现代建筑等众多领域,是迄今为止人类历史上绝无仅有的“百科全书”式天才。著有《自然哲学的数学原理》(现常简称作《原理》)、《光学》。伟大的法国科学家拉普拉斯写到:“《原理》是人类智慧的产物中最卓越的杰作。”

牛顿被誉为人类历史上最伟大的科学家之一。他的万有引力定律在人类历史上第一次把天上的运动和地上的运动统一起来,为日心说提供了有力的理论支持,使得自然科学的研究最终挣脱了宗教的枷锁。牛顿还发现了太阳光的颜色构成,制作了世界上第一架反射望远镜。拉格朗日经常说:牛顿是有史以来最伟大的天才。

据说小牛顿把风车的机械原理摸透后,自己制造了一架磨坊的模型,他将老鼠绑在一架有轮子的踏车上,然后在轮子的前面放上一粒玉米,刚好那地方是老鼠可望不可及的位置。老鼠想吃玉米,就不断地跑动,于是轮子不停地转动;又一次他放风筝时,在绳子上悬挂着小灯,夜间村人看去惊疑是彗星出现;他还制造了一个小水钟。每天早晨,小水钟会自动滴水到他的脸上,催他起床。他还喜欢绘画、雕刻,尤其喜欢刻日晷,家里墙角、窗台上到处安放着他刻画的日晷,用以验看日影的移动。

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12岁左右牛顿被送进离家不远的格兰瑟姆镇的金格斯皇家中学读书。并成为了该校最出色的学生。在国王中学时,他寄宿在当地的药剂师威廉·克拉克家中,在这里,牛顿跟随克拉克接受了化学试验的熏陶。并在19岁前往剑桥大学求学前,与药剂师的继女安妮·斯托勒订婚。之后因为牛顿专注于他的研究而使得爱情冷却,斯托勒小姐嫁给了别人。据说牛顿对这次的恋情保有一段美好的回忆,但此后便再也没有其他的罗曼史,牛顿也终生未娶。

1665年,他发现了广义二项式定理,并开始发展一套新的数学理论,也就是后来为世人所熟知的微积分学。同年,剑桥大学评议会通过了授予牛顿大学学士学位的决定。

牛顿的广义二项式定理适用于任何幂。他发现了牛顿恒等式、牛顿法,分类了立方面曲线(两变量的三次多项式),为有限差理论作出了重大贡献,并首次使用了分式指数和坐标几何学得到丢番图方程的解。他用对数趋近了调和级数的部分和(这是欧拉求和公式的一个先驱),并首次有把握地使用幂级数和反转(revert)幂级数。他还发现了π的一个新公式。

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1676年,牛顿首次公布了他发明的二项式展开定理。牛顿还利用它发现了其他无穷级数,并用来计算面积、积分、解方程等等。

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在1699年初,皇家学会的其他成员们指控莱布尼茨剽窃了牛顿的成果,争论在1711年全面爆发了。牛顿所在的英国皇家学会宣布,一项调查表明了牛顿才是真正的发现者,而莱布尼茨被斥为骗子。但在后来,发现该调查评论莱布尼茨的结语是由牛顿本人书写,因此该调查遭到了质疑。这导致了激烈的牛顿与莱布尼茨的微积分学论战,并破坏了牛顿与莱布尼茨的生活,直到后者在1716年逝世。这场争论在英国和欧洲大陆的数学家间划出了一道鸿沟,并可能阻碍了英国数学至少一个世纪的发展。

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牛顿与莱布尼茨独立发展出了微积分学,并为之创造了各自独特的符号。根据牛顿周围的人所述,牛顿要比莱布尼茨早几年得出他的方法,但在1693年以前他几乎没有发表任何内容,并直至1704年他才给出了其完整的叙述。其间,莱布尼茨已在1684年发表了他的方法的完整叙述。此外,莱布尼茨的符号和“微分法”被欧洲大陆全面地采用,大约在1820年后,英国也采用了该方法。莱布尼茨的笔记本记录了他的思想从初期到成熟的发展过程,而在牛顿已知的记录中只发现了他最终的结果。牛顿声称他一直不愿公布他的微积分学,是因为他怕被人们嘲笑。

牛顿的微积分

1665年,牛顿开始考虑无穷小。他提出的问题是:假定我们知道物体在任意时间t内经过的距离是D(t),如何得到任意时刻的速度?他提出对变速运动而言,任意时刻的瞬时速度是在该时刻的无穷小时间区间内经过的距离与时间区间的比值。引入符号o作为无穷小时间区间,牛顿定义时间t的速度为在时刻t和时刻t+o之间经过的距离与o的比值,即速度[d(t+o)-D(t)]/o。例如,如果D(t)=t

,那么D(t+o)=t+3ro+3to+o。由于o是无穷小,我们可能忽略正比于o和o的项,取D(t+0)=t+3to,于是D(t+0)-D(t)=3ro,由此得出速度是3r。牛顿称之为D(t)的“流数”,但后人称之“导数”,它是现代微积分的基本工具。

然后牛顿研究了曲线所围成图形面积的问题。他的回答是微积分的基本定理:必须找到一个量,其流数是描述曲线的函数。例如,我们已经看到,3x是x的流数,因此抛物线y=3x与x=0之间的面积就是x.牛顿称之为“反流数术”,如今被称为“积分”。

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1666年,在担任数学教授之前,牛顿已经开始关于微积分的研究,他受到了沃利斯的《无穷算术》的启发,第一次把代数学扩展到分析学。牛顿真实的研究使用的是静态的无穷小量分析,像费尔马那样把变量看成是无穷小元素的集合。1669年,牛顿完成了第一篇有关微积分的论文《无穷多项方程的分析》。这篇论文当时在他的朋友中间散发、传阅,直到1711年才正式出版。牛顿在论文中不仅给出了求瞬时变化率的一般方法,而且证明了面积可由求变化率的逆过程得到。

接着,牛顿进行微积分研究第二阶段的工作,研究变量流动生成法,认为变量是由点、线或面的连续运动产生的,因此他把变量叫做流量,把变量的变化率叫做流数。牛顿这阶段的工作成果,主要体现在成书于1671年的一本论著《流数法和无穷级数》。书中叙述了微积分的基本定理,并对微积分思想做了广泛而更明确的说明,但这本书直到1736年才出版。在书中,牛顿还明确表述了他的流数法的理论依据:“流数法赖以建立的主要原理乃是取自理论力学中的一个非常简单的原理,即数学量,特别是外延量都可以看成是连续轨迹运动产生的,而且所有不管什么量,都可以认为是在同样方式下产生的。”

他又说:“本人是靠另一个同样清楚的原理来解决这个问题的,这就是假定一个量可以无限分割,或者可以(至少在理论上说)使之连续变小,直到比任何一个指定的量都小。”牛顿这里提出的“连续”思想以及使一个量小到“比任何一个指定的量都小”的思想是极其深刻的。

牛顿进行微积分研究的第三阶段用的是最初比和最后比的方法,否定了之前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合,不再强调数学量是由不可分割的最小单元构成,而认为它是由几何元素经过连续运动生成的。他也不再认为流数是两个实无限小量的比,而是初生量的最初比或消失量的最后比,这就从原先的实无限小量观点进入了量的无限分割过程,即潜无限观点上去。这是他对初期微积分研究的修正和完善。

牛顿在流数术中提出的中心问题是:已知连续运动的路径,求给定时刻的速度(微分法),已知运动的速度求给定时间内经过的路径(积分法)。牛顿认为任何运动存在于空间,依赖于时间,因而他把时间作为自变量,把和时间有关的固定量作为流量。不仅如此,他还把几何图形-线、角、体,都看作力学位移的结果,因而一切变量都是流量。

所谓“流量”就是随时间而变化的自变量,如x、y、s、u等,“流数”就是流量的改变速度,即变化率。牛顿所说的“差率”、“变率”就是微分。与此同时,他还在1767年首次公布了自己发明的二项式展开定理。牛顿利用它还发现了其他无穷级数,并用来计算面积、积分、解方程等。

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牛顿指出,“流数术”基本包括三类问题:

第一类问题:已知流量之间的关系,求它们的流数的关系,这相当于微分学;

第二类问题:已知表示流数之间关系的方程,求相应的流量间的关系,这相当于积分学。牛顿意义下的积分学不仅包括求原函数,还包括解微分方程;

第三类问题:“流数术”的应用范围包括计算曲线的极大值、极小值,求曲线的切线和曲率,求曲线长度及计算曲边形面积等。

牛顿已完全清楚上述第一与第二两类问题中的运算是互逆的运算,于是建立起微分学和积分学之间的联系。牛顿在1665年5月20日的一份手稿中提到了“流数术”,因而有人把这一天作为微积分诞生的标志。

关于莱布尼茨的微积分,在另一边文章中将作介绍~

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